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斐波那契数

重要程度: 5

斐波那契数序列有这样的公式: Fn = Fn-1 + Fn-2。换句话说,下一个数字是前两个数字的总和。

前两个数字是 1,然后 2(1+1),然后 3(1+2)5(2+3) 等:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

斐波那契数与黄金比例和我们周围的许多自然现象有关。

编写一个 fib(n) 返回第 n 个斐波那契数的函数。

一个例子:

function fib(n) { /* 你的代码 */ }

alert(fib(3)); // 2
alert(fib(7)); // 13
alert(fib(77)); // 5527939700884757

P.S. 函数运行速度要快,调用 fib(77) 不应该超过几分之一秒。

我们可以尝试的第一种解法是递归。

斐波那契数根据定义是递归的:

function fib(n) {
  return n <= 1 ? n : fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

alert( fib(3) ); // 2
alert( fib(7) ); // 13
// fib(77); // 超级慢!

…但是 n 比较大时会很慢。比如 fib(77) 会挂起引擎一段时间,并且消耗所有 CPU 资源。

因为函数产生了太多的子调用。同样的值被一遍又一遍的计算。

比如,我们看下计算 fib(5) 的片段:

...
fib(5) = fib(4) + fib(3)
fib(4) = fib(3) + fib(2)
...

可以看到,fib(5)fib(4) 都需要 fib(3) 的值,所以 fib(3) 被独立计算了两次。

这是完整的递归树:

我们可以清楚的看到 fib(3) 被计算了两次,fib(2) 被计算了三次。总计算量远远超过了 n,这样对 n=77 来讲就是巨量的。

我们可以通过记录已经计算过的值来优化:如果一个值比如 fib(3) 已经被计算过一次,那么我们可以在后面的计算中重复使用它。

另一个选择就是不使用递归,而是用基于循环的算法。

与从 n 到降到更小的值相反,我们可以使用循环从 12 开始,然后得到它们的和 fib(3)。在每一步,我们只需要记录前两个值就可以。

下面是新算法的细节步骤:

开始:

// a = fib(1), b = fib(2),这些值是根据定义 1 得到的
let a = 1, b = 1;

// 求两者的和得到 c = fib(3)
let c = a + b;

/* 现在我们有 fib(1), fib(2), fib(3)
a  b  c
1, 1, 2
*/

现在我们想要得到 fib(4) = fib(2) + fib(3)

我们移动变量:a,b 得到 fib(2),fib(3)c 是两者的和。

a = b; // 现在 a = fib(2)
b = c; // 现在 b = fib(3)
c = a + b; // c = fib(4)

/* 现在我们有这样的序列
   a  b  c
1, 1, 2, 3
*/

下一步得到另一个序列数:

a = b; // 现在 a = fib(3)
b = c; // 现在 b = fib(4)
c = a + b; // c = fib(5)

/* 现在序列是(又加了一个数):
      a  b  c
1, 1, 2, 3, 5
*/

…依次类推直到我们得到需要的值。这比递归快很多,而且没有重复计算。

完整代码:

function fib(n) {
  let a = 1;
  let b = 1;
  for (let i = 3; i <= n; i++) {
    let c = a + b;
    a = b;
    b = c;
  }
  return b;
}

alert( fib(3) ); // 2
alert( fib(7) ); // 13
alert( fib(77) ); // 5527939700884757

循环从 i=3 开始,因为前两个序列值被硬编码到变量 a=1b=1

这种方式称为自下而上的动态规划